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《分式方程的解法》

来源:未知 作者:佚名 日期:2019-09-17 浏览:58

复习提问1、什么是一元一次方程?什么是方程的 解? 2、解一元一次方程的基本方法和步骤是 什么? 3、分式有意义的条件是什么?4、分式的基本性质是怎样的?引入问题轮船在顺水中航行 80 千米所需的时 间和逆水航行60千米所需的时间相同.已 知水流的速度是 3 千米 / 时,求轮船在静 水中的速度. 分析:设轮船在静水中的速度为x千米/ 时,根据题意,得 80 60 ? x ?3 x?3这个方程有何特点?想一想80 60 ? x ?3 x?3这个方程有何特点?特征:方程两边的代数式是分式。或者说未知数在分母上的方程。分式方程的概念80 60 方程 中含有分式,并且分母 ? x ?3 x?3中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程.分式方程的主要特征:(1)含有分式 (2)分母中含有未知数. 你还能举出一个分 式方程吗?判断下列各式哪个是分式方程.(1) (1)、(2)是整式方程. (2) (3) (3)是分式.(4)(5)(4)(5)是分式方程.下列方程哪些是分式方程:x ? 3 3x ? 4 x 3 ? (1) ? ? 0 (4) 2 x ? 4 9 x ? 14 x ?1 x ? 3 x?2 x ?1 (2) ? 4x (5) 2 ? 1 x ? 2 x (3) 2 ? 3 ? 0 (6) ? 1 x ?1 y探究分式方程的解法思考:怎样解分式方程呢?为了解决这个问题,请同学们先思考并 回答以下问题: 1)、回顾一下解一元一次方程时是怎么 去分母的,从中能否得到一点启发? 2)、有没有办法可以去掉分式方程的分 母把它转化为整式方程呢?探究分式方程的解法80 60 试动手解一解方程: ? x ?3 x?3解:方程两边同乘以(x+3)(x-3),约去分母,得80(x-3)=60(x+3) 解这个整式方程分式方程的解法例题,得 x=21 所以轮船在静水中的速度为21千米/时.解方程:5 7 ? x x?25(x-2)=7x解:方程两边同乘以x(x-2),约去分母,得解这个整式方程,得 x=-5探究分式方程的解法上述解分式方程的过程,实质上是将方 程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分 式方程转化为整式方程来解 . 所乘的整式通 常取方程中出现的各分式的最简公分母.请你动手做一做:1 2 ? 2 解方程: x ?1 x ?1例题讲解与练习1 2 ? 2 例1 解方程: x ?1 x ?1解:方程两边同乘以(x+1)(x-1),约去分母,得 x+1=2 解这个整式方程,得 x =1 事实上,当 x=1 时,原分式方程左边和右边的分 母(x-1)与(x2-1)都是0,方程中出现的两 个分式都没有意义,因此, x=1 不是原分式方程 的根,应当舍去. 所以原分式方程无解.探究分式方程的增根原因在将分式方程变形为整式方程时,方程 两边同乘以一个含未知数的整式,并约去了 分母,有时可能产生不适合原分式方程的解 (或根),这种根通常称为增根. 因此,在解分式方程时必须进行检验. 那么分式方程的解法例题,可能产生“增根”的原因在哪里呢?探究分式方程的增根原因对于原分式方程的解来说,必须要求 使方程中各分式的分母的值均不为零,但 变形后得到的整式方程则没有这个要求 . 如果所得整式方程的某个根,使原分式方 程中至少有一个分式的分母的值为零,也 就是说使变形时所乘的整式(各分式的最 简公分母)的值为零,它就不适合原方程, 即是原分式方程的增根.探究分式方程的验根方法验根的方法 解分式方程进行检验的关键是看所 求得的整式方程的根是否使原分式方程中 的分式的分母为零 . 有时为了简便起见, 也可将它代入所乘的整式(即最简公分 母),看它的值是否为零 . 如果为零,即 为增根. 1.代入原方程进行检验 2.代入最简公分母进行检验例题讲解与练习100 30 例2 解方程 ? x x?7解:方程两边同乘以x(x-7),约去分母,得100(x-7)=30x解这个整式方程,得 x=10检验:把 x =10代入 x(x-7),得 10×(10-7)≠0 所以, x=10是原方程的解.例题讲解与练习x ?5 1 例3 解方程: (1)1 ? ? x?4 x?4解:方程两边同乘以x-4,得x ? 4? x ?5 ?1解这个整式方程得 x = 5 检验:把 x = 5 代入 x -4,得x-4≠0∴x = 5是原方程的解.例题讲解与练习x?2 16 x?2 ? 2 ? 例3 解方程:(2) x?2 x ?4 x?2 解:方程两边同乘以(x-2)(x+2),得 注意:分2 2式方程的 (x ? 2) ?16 ? ( x ? 2) 求根过程 2 2 x ? 4 x ? 4 ? 16 ? x ? 4 x ? 4 不一定是 同解变形, 解这个整式方程,得x=-2 所以分式 检验:把x=-2代入 x2-4得x2-4=0 方程一定 ∴x=-2是增根,从而原方程无解. 要验根!做一做解下列分式方程: x x 4 1 ?1? ? ? 0 ?2 ?1 ? ? 2 x x ?1 x ?1 x ?1 2 x ? 5 5x ? 4 1 ?3? ? ? 3x ? 6 2 x ? 4 2 3 2 6 ?4? 2 ? 2 ? 2 x ? x x ? x x ?11 1 ?5? ? ( x ? 2)(x ? 3) ( x ? 4)(x ? 5)做一做判断:x ?1 2 ?1?方 程 ? 2 ? 1的 解 是 x? ?2; x x x 1 ?2 ?方 程 ? 的 解 是 x? 1; x ?1 x ?1 x 1 ?3 ?把 分 式 方 程 ?2 ? 化 为 整 式 方 程 得? x 2 ? 1; x ?2 2?x学习小结1、你学到了哪些知识? 要注意什么问题? 2、在学习的过程 中你 有什么体会?课堂小结1、什么是分式方程?举例说明 2、解分式方程的一般步骤: a 、在方程的两边都乘以最简公分母, 约去分母,化为整式方程. b、解这个整式方程. c 、验根,即把整式方程的根代入最简 公分母,看结果是不是零,若结果不是0,说 明此根是原方程的根;若结果是0,说明此根 是原方程的增根,必须舍去. 3、解分式方程为什么要进行验根?怎样 进行验根?课堂小结验根的方法有:代入原方程检验法和代入最简公分母检验法. (1)代入原方程检验,看方程左,右两边的值 是否相等,如果值相等,则未知数的值是原方 程的解,否则就是原方程的增根。 (2)代入最简公分母检验时,看最简公分母的 值是否为零,若值为零,则未知数的值是原方 程的增根,否则就是原方程的根。课堂小结解分式方程的注意点:(1)去分母时,先确定最简公 分母;若分母是多项式,要进行因 式分解; (2)去分母时,不要漏乘不含 分母的项; (3)最后不要忘记验根。



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