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分式方程的解法及应用(基础)导学案+习题【含答案】

来源:未知 作者:佚名 日期:2019-09-17 浏览:58

分式方程的解法及应用(基础)【学习目标】 1。 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程. 2。 会列出分式方程解简单的应用问题. 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释: (1)分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母;③分母中含有未 知数。 (2) 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数 (不是一般的字 母系数)。分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数 的方程是整式方程。 (3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程。 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想:将分式方程转化为整式方程。转化方法是方程两边都乘以最简 公分母,去掉分母。在去分母这一步变形时,有时可能产生使最简公分母为零的根,这种根 叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程时必须验根。 解分式方程的一般步骤: (1)方程两边都乘以最简公分母,去掉分母,化成整式方程(注意:当分母是多项式 时,先分解因式,再找出最简公分母) ; (2)解这个整式方程,求出整式方程的解; (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于 0,则这个解是原分式 方程的解,若最简公分母等于 0,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解。

要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时,可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根。 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式 子有可能为零,对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义, 所以这个根是原分式方程的增根。 要点诠释: (1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的。根据方程的同解原 理,方程的两边都乘以(或除以)同一个不为 0 的数,所得方程是原方 程的同解方程。如果方程的两边都乘以的数是 0,那么所得方程与原方 程不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根。 (2)解分式方程一定要检验根,这种检验与整式方程不同,不是检查解方 程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的。 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题。 列分式方程解应用题按下列步骤进行: (1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系; (2)设未知数; (3)找出能够表示题中全部含义的相等关系,列出分式方程; (4)解这个分式方程; (5)验根,检验是否是增根; (6)写出答案。

【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、下列方程中,是分式方程的是( ) .x?3 x?2 1 ? ? 4 3 12 1 2 C. 3 x ? x ? 0 5A.x ?1 x ? 2 4 ? ? x ?1 x ?1 x ?1 x a D. ? ? x , ( a , b 为非零常数) a bB.【答案】B; 【解析】A、C 两项中的方程尽管有分母,但分母都是常数;D 项中的方程尽管含有分母,但 分母中不含未知数, 由定义知这三个方程都不是分式方程, 只有 B 项中的方程符合 分式方程的定义. 【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程,就看其有无分母,并且分母中是否含有未知 数. 类型二、解分式方程 2、 解分式方程(1) 【答案与解析】 解: (1)10 5 5 1 ? ? 2; ? 2 ? 0. (2) 2 2x ?1 1 ? 2x x ? 3x x ? x10 5 ? ? 2, 2x ?1 1 ? 2x将方程两边同乘 (2 x ? 1) ,得10 ? (?5) ? 2(2 x ?1) .解方程,得 x ? 检验:将 x ? ∴7 . 47 5 代入 2 x ? 1 ,得 2 x ? 1 ? ? 0 . 4 27 是原方程的解. 4 5 1 ? 2 ? 0, (2) 2 x ? 3x x ? x x?方程两边同乘以 x( x ? 3)( x ? 1) ,得 5( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 0 . 解这个方程,得 x ? 2 . 检验:把 x ? 2 代入最简公分母,得 2×5×1=10≠0. ∴ 原方程的解是 x ? 2 . 【总结升华】将分式方程化为整式方程时,乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项,不要 漏乘常数项.特别提醒:解分式方程时,一定要检验方程的根. 举一反三: 【变式】解方程: 【答案】2? x 1 ? ?2 . x ?3 3? x解:2? x 1 ? ?2 , x ?3 3? x方程两边都乘 x ? 3 ,得 2 ? x ? ?1 ? 2( x ? 3) ,解这个方程,得 x ? 3 , 检验:当 x ? 3 时, x ? 3 ? 0 , ∴ x ? 3 是增根, ∴ 原方程无解. 类型三、分式方程的增根 【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3(1) 】 3、 m 为何值时,关于 x 的方程2 mx 3 ? 2 ? 会产生增根? x?2 x ?4 x?2【思路点拨】 若分式方程产生增根, 则 ( x ? 2)( x ? 2) ? 0 , 即 x ? 2 或 x ? ?2 ,然后把 x ? ?2 代入由分式方程转化得的整式方程求出 m 的值. 【答案与解析】 解: 方程两边同乘 ( x ? 2)( x ? 2) 约去分母分式方程的解法例题, 得 2( x ? 2) ? mx ? 3( x ? 2) .整理得 (m ? 1) x ? ?10 . ∵ 原方程有增根,∴( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 .把 x ? 2 代入 (m ? 1) x ? ?10 ,解得 m ? ?4 . 把 x ? ?2 代入 (m ? 1) x ? ?10 ,解得 m ? 6 . 所以当 m ? ?4 或 m ? 6 时,方程会产生增根. 【总结升华】处理这类问题时,通常先将分式方程转化为整式方程,再将求出的增根代入整 式方程,即可求解. 举一反三: 【变式】如果方程1 1? x ?3? 有增根,那么增根是________. x?2 2? x【答案】 x ? 2 ; 提示:因为增根是使分式的分母为零的根,由分母 x ? 2 ? 0 或 2 ? x ? 0 可得 x ? 2 .所以增根是 x ? 2 . 类型四、分式方程的应用 4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动,已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树,甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多 少棵树? 【思路点拨】 本题的等量关系为: 甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相 等. 【答案与解析】解:设甲班每小时种 x 棵树,则乙班每小时种 ? x ? 2 ? 棵树.60 66 ? ,解这个方程,得 x ? 20 . x x?2 经检验 x ? 20 是原方程的根且符合题意. 所以 x ? 2 ? 22 (棵).由题意可得 答:甲班每小时种 20 棵树,乙班每小时种 22 棵树. 【总结升华】 解此题的关键是设出未知数后, 用含 x 的分式表示甲、 乙两班种树所用的时间. 举一反三: 【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程,甲队单独施工 1 个月完成总工程的1 ,这时增 3加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 【答案】 解:设乙队单独施工 1 个月能完成工程的 根据工程的实际进度,得1 ,总工程量为 1. x1 1 1 ? ? ? 1. 3 6 2x 方程两边同时乘以 6 x ,得 2 x ? x ? 3 ? 6 x . 解这个方程得 x ? 1 . 检验:当 x ? 1 时, 6 x =6≠0, 所以 x ? 1 是原分式方程的解.由上可知,若乙队单独工作 1 个月可以完成全部任务,对比甲队 1 个月完成任务的 可知乙队施工速度快. 答:乙队施工速度快. 【巩固练习】 一。

选择题 1.下列关于 x 的方程中,不是分式方程的是( A. C.1 , 3) B. D.1 ? x ?1 xx 3x 2 ? ? 3 4 53x ?4 x ?12x 5 ? 16 x ? 61 2 ? 2 ,可得结果( ). x ?1 x ?1 A。 x ? 1 B。 x ? ?1 C。 x ? 3 x?4 4 ? 2x 3.要使 的值和 的值互为倒数,则 x 的值为( x?5 4?x 1 A。0 B。-1 C。 22.解分式方程 4.已知D。无解 ). D。1x ?1 y ? 3 ? ,若用含 x 的代数式表示 y ,则以下结果正确的是( x?2 y?4x ? 10 3B。 y ? x ? 2 C。 y ?).A。 y ?10 ? x 3D。 y ? ?7 x ? 25.若关于 x 的方程3 k ? 1? 有增根,则 k 的值为( x ?1 1? x).A。3 B。1 C。0 D。-1 6.完成某项工作,甲独做需 a 小时,乙独做需 b 小时,则两人合作完成这项工作的 80%, 所需要的时间是( ). A。4 ( a ? b ) Сʱ 5B。4 1 1 ( ? ) Сʱ 5 a bab Сʱ a?bC。

4ab Сʱ 5(a ? b)D。二。填空题 7。 当 x =______时,分式3 2 与 的值互为相反数. x 6? x8.仓库贮存水果 a 吨,原计划每天供应市场 m 吨,若每天多供应 2 吨,则要少供应______ 天.4 3 与 的值相等. x ? 4 x ?1 2ax ? 3 5 ? 的根是 1. 10.当 a =______时,关于 x 的方程 a?x 4 x ?1 4 ? ? 1 有增根,则增根是______. 11.若方程 x ? 1 x2 ? 1 a ? 1 的解是负数,则 a 的取值范围为____________. 12.关于 x 的方程 x ?19. x =______时,两分式 三。解答题 13。 解下列分式方程: (1)1 1? x 5x ? 7 2 3 x 2 1 ? ?3 ; ? ? ? ? ? 0. (2) 2 ; (3) 2 x?2 2? x x ? 3x ? 2 x ? 1 x ? 2 x ?1 x ? 2 x ?114。 甲、乙两地相距 50 km ,A 骑自行车,B 乘汽车,同时从甲城出发去乙城.已知汽车的 速度是自行车速度的 2。5 倍,B 中途休息了 0。

5 小时还比 A 早到 2 小时,求自行车和汽 车的速度. 15。有一个两位数,它的个位数字比十位数字大 1,这个两位数被个位数字除时,商是 8,余 数是 2,求这个两位数. 【答案与解析】 一。选择题 1。 【答案】C; 【解析】C 选项中分母不含有未知数,故不是分式方程。 2。 【答案】D; 【解析】 x ? 1 是原方程的增根。 3。 【答案】B; 【解析】由题意x ? 4 4 ? 2x 2x ? 4 ? ? 1 ,化简得: ? 1 解得 x ? ?1 。 x?5 4? x x?54。 【答案】C; 【解析】由题意 ? x ?1?? y ? 4? ? ? x ? 2?? y ? 3? ,化简得: 3 y ? 10 ? x ,所以选 C。 5。 【答案】A; 【解析】将 x ? 1 代入 3 ? x ? 1 ? k ,得 k ? 3 。 6。 【答案】C; 【解析】由题意4 1 1 4 ab ?( ? ) ? ? ,所以选 C。 5 a b 5 a?b二。填空题 7。 【答案】18;3 2 ? ? 0 ,解得 x ? 18 。 x 6? x 2a 8。 【答案】 2 ; m ? 2m a a 2a 【解析】原计划能供应 天分式方程的解法例题,现在能供应 天,则少供应 2 天。

解析答案 (3)求数列{sn}的前n项和. 解由(2)得s1+s2+…+sn 解析答案 应用等比数列前n项和公式时忽视分类讨论致误 易错点 例4等比数列1,2a,4a2,8a3,…的前n项和sn=.。答案:6.方程c=c的解为________.解析:当x=3x-8,解得x=4。* * * * * * * * 解析答案 0 解析答案 3.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是. ①a=8,b=16,a=30°,有两解。

2.方程组有 有个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是 .,并且一共个方程,像这样的方程组叫做3. 解三元一次方程组的基本思路:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为 “二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而转化为解一元一次方程. 即三元一次方程组 问题二:例题:解方程组: 二元一次方程组 一元一次方程x-y+z=7 x+y=-1 2x-y-z=0。两边求导得:f '(x)=f(x)*3+2e^(2x)将x=0代入原式得:f(0)=1,这是初始条件.先解微分方程 f '(x)=f(x)*3+2e^(2x)即 f '(x)-3f(x)=2e^(2x),一阶线性微分方程,直接套公式f(x)=e^(∫3dx)[∫ 2e^(2x)*e^(-∫3dx)dx+c]=e^(3x。将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得 ⑤。

答:自行车的速度为 12 km / h ,汽车的速度是 30 km / h 。由题意, 15。【解析】 解:设十位上的数字为 x ,则个位上的数字为 x ? 1 , 则:10 x ? ( x ? 1) ? 2 ? 8. x ?1 解方程得: x ? 3 . 经检验: x ? 3 是原方程的根. 所以个位上的数字为: x ? 1 =3+1=4.所以这个两位数是:3×10+4=34. 答:这个两位数是 34.



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